Muitos problemas atraentes de matemática elementar exploram relações entre conjuntos finitos, expressas em linguagem coloquial. Parte de sua atração vem justamente do fato de que podem ser formulados e, muitas vezes, resolvidos sem recorrer a fórmulas ou a técnicas complicadas. Vejamos um exemplo simples ilustrativo desses problemas.
Exemplo: Qual é o número mínimo de pessoas que devemos reunir para que tenhamos certeza de que entre elas há pelo menos duas que fazem aniversário no mesmo mês? Solução: A resposta é 13. Se houvesse apenas 12 pessoas, seria possível que cada uma delas fizesse aniversário em um mês diferente. Com 13 pessoas, há , obrigatoriamente, pelo menos um mês com mais de um aniversário (se houvesse, no máximo, um aniversário por mês, o número de pessoas presentes seria, no máximo, 12).
O argumento empregado acima é conhecido como PRINCÍPIO DAS GAVETAS (de Dirichlet) ou PRINCÍPIO DAS CASAS DE POMBOS. Um possível enunciado para este princípio é o seguinte: Se n objetos forem colocados em, no máximo, n – 1 gavetas, então pelo menos uma delas conterá pelo menos dois objetos. (Uma maneira um pouco mais formal de dizer o mesmo é: se o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de um outro conjunto B, então uma função de A em B não pode ser injetiva.)
(Paulo Cezar Pinto Carvalho – IMPA) Este princípio é muito recorrente em concursos públicos.
Fonte : http://bettonunes.blogspot.com.br/2011/01/principio-das-gavetas-ou-principio-das.html
1) Se tivermos um grupo de 13 pessoas, então com certeza duas delas fazem
aniversário no mesmo mês e se grupo aumentar para 32 pessoas, podemos afirmar também que existem no
mínimo duas pessoas que fazem aniversário no mesmo dia.
Solução: Pelo princípio da casa dos pombos, se houvesse mais 13 pessoas do que meses 12 é certo que pelo menos duas pessoas terão nascido no mesmo mês e a explicação é análoga para o dia do mês.
2) Dado um cubo de lado 2 , mostre que ao marcarmos 9 pontos em seu interior, a distância entre pelo menos dois deles é menor ou a raiz de3 .
Solução: Para cada par de faces opostas desse cubo, tomamos um plano paralelo a essas faces e que passa pelo centro do cubo. Serão![[;3;]](file:///C:/Users/Teste/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.gif)
planos que dividirão
esse cubo em ![[;8;]](file:///C:/Users/Teste/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image009.gif)
cubinhos de aresta 1.
Solução: Pelo princípio da casa dos pombos, se houvesse mais 13 pessoas do que meses 12 é certo que pelo menos duas pessoas terão nascido no mesmo mês e a explicação é análoga para o dia do mês.
2) Dado um cubo de lado 2 , mostre que ao marcarmos 9 pontos em seu interior, a distância entre pelo menos dois deles é menor ou a raiz de3 .
Solução: Para cada par de faces opostas desse cubo, tomamos um plano paralelo a essas faces e que passa pelo centro do cubo. Serão
planos que dividirão
esse cubo em cubinhos de aresta 1.
Cada um desses cubinhos será uma casa dos pombos e
como temos 9 pontos, então pelo
menos 2 pontos estarão no
interior ou na superfície um cubo de aresta 1. Sendo a maior
distância entre dois pontos quaisquer num desses cubinhos igual ao comprimento
da diagonal do cubo, ou seja raiz de 3 , temos o
resultado desejado.
3) Todos os pontos de um plano são pintados de azul ou vermelho. Prove que podemos encontrar dois pontos da mesma cor que distam exatamente 10 cm .
Solução: Basta imaginarmos um triângulo equilátero de lado igual a 10cm. Como são duas cores (casas) e três pontos (pombos). Pelo princípio da casa dos pombos teremos dois da mesma cor.
3) Todos os pontos de um plano são pintados de azul ou vermelho. Prove que podemos encontrar dois pontos da mesma cor que distam exatamente 10 cm .
Solução: Basta imaginarmos um triângulo equilátero de lado igual a 10cm. Como são duas cores (casas) e três pontos (pombos). Pelo princípio da casa dos pombos teremos dois da mesma cor.
Embora este princípio parece simples, mas é através
dele que pode demonstrar resultados possivelmente inesperados. Por exemplo, em qualquer grande cidade (digamos com mais
de 1 milhão de habitantes) existem pessoas com o mesmo número de fios de
cabelo. Para finalizar, apresento a seguir outros problemas que podem
ser resolvidos através do princípio da casa dos pombos, cuja solução é deixada
como exercício.
1) Quantos estudantes devem ter em uma turma para garantir que pelo menos dois estudantes possuam a mesma nota no exame final, se a nota do exame varia de 0 a 100 ? (As notas são dadas em números inteiros).
1) Quantos estudantes devem ter em uma turma para garantir que pelo menos dois estudantes possuam a mesma nota no exame final, se a nota do exame varia de 0 a 100 ? (As notas são dadas em números inteiros).
2) Mostre que entre um grupo de 5 inteiros (não
necessariamente consecutivos) existem dois com o mesmo resto quando divididos
por 4 .
3) Seja d um inteiro positivo. Mostre que entre qualquer grupo d+1 de inteiros (não necessariamente consecutivos) existem dois com exatamente o mesmo resto quando divididos por d.
3) Seja d um inteiro positivo. Mostre que entre qualquer grupo d+1 de inteiros (não necessariamente consecutivos) existem dois com exatamente o mesmo resto quando divididos por d.
Referência Bibliográfica:
1)Blog Cultura e Lazer
2) Oliveira, Anjolina Grisi de. Princípio da Casa dos Pombos. Centro de Informática, UFPE.
2) Oliveira, Anjolina Grisi de. Princípio da Casa dos Pombos. Centro de Informática, UFPE.
Postado por Prof.
Paulo Sérgio às 25.7.09
Por Milena Agostinho
Exemplos de como se trabalhar formas
geométricas na educação infantil.
Conhecendo formas geométricas na educação
infantil: o triângulo.
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com
esta aula
• Ampliar seu repertório musical;
• Conhecer uma forma geométrica (triângulo);
• Desenvolver a leitura e a escrita.
• Conhecer uma forma geométrica (triângulo);
• Desenvolver a leitura e a escrita.
Estratégias
e recursos da aula
Primeira aula:
Apresente a música “O meu chapéu tem três pontas”:
O MEU CHAPÉU TEM TRÊS PONTAS
TEM TRÊS PONTAS O MEU CHAPÉU
SE NÃO TIVESSE TRÊS PONTAS
NÃO SERIA O MEU CHAPÉU.
Depois de
cantarem, ensine as crianças a fazerem a dobradura de um chapéu com jornal ou
outro tipo de papel. Enfatize o formato para eles perceberem que realmente o
chapéu tem três pontas; assim inicie o trabalho sobre as formas geométricas:
explique que aquilo se trata de um triângulo exatamente por ter três pontas (ou
lados). Peça para observarem a sala de aula à procura de objetos que possam ter
o formato de triângulo.
Segunda aula:
Apresente um cartaz com a letra da música em que estejam faltando algumas palavras, por exemplo:
O MEU ___________ TEM TRÊS PONTAS
TEM ___________ PONTAS O MEU CHAPÉU
SE NÃO TIVESSE TRÊS ___________
NÃO SERIA O MEU CHAPÉU.
Faça fichas com as palavras que faltam (nesse caso CHAPÉU, TRÊS e PONTAS). Explique para os alunos que ali está a letra da música já aprendida só que estão faltando algumas palavras. Pegue as fichas e fixe-as no quadro ao lado do cartaz. Cantem novamente, desta vez passando o dedo embaixo das palavras durante a música (assim eles poderão perceber melhor o som das palavras que faltam). Posteriormente, peça para tentarem encaixar as fichas no cartaz.
Depois de terem completado este momento, entregue folhas com a letra da música escrita da mesma maneira do cartaz e peça que agora completem suas atividades.
Por fim eles podem fazer desenhos relacionados à música.
Recursos
Complementares
• Folhas de jornal ou outro tipo de papel para dobradura;
• Cartaz com a letra da música para realização de atividade;
• Fichas de papel.
Aula idealizada por:
Melina Brasil
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com
esta aula
Apreciar formas geométricas em obras de arte; desenvolver
o gosto estético; realizar releitura de obra de arte.
Duração das atividades
Três
momentos de mais ou menos 20 minutos
Conhecimentos prévios trabalhados
pelo professor com o aluno
Para realização desta aula as crianças já deverão ter
trabalhado as formas geométricas
Estratégias e recursos da aula
Primeiro momento:
Apresentar
obras de arte para as crianças escolher uma para trabalhar. Se o professor
estiver trabalhando geometria e desejar trabalhar esta temática, usando como
suporte a obra de arte, sua escolha deve ser por obras onde as formas
geométricas estejam presentes. Um dos artistas plásticos que trabalha com
formas geométricas de forma bastante criativa é Piet Mondrian.
Obra de Mondrian escolhida pelo grupo, disponível
no site: http://cealdecote.wordpress.com/2007/12/.
Segundo momento:
Depois de
escolhida a obra que será trabalhada pelo grupo, o professor deve estabelecer
um dialogo que permita às crianças identificar e nomear as formas presentes na
obra. Deverá também discutir que materiais podem ser utilizados para realização
da releitura pelas crianças.
O
professor deve disponibilizar papel peso 40 pedaços de barbantes, colam e tinta
guache. Nas mesas, as crianças poderão colar pedaços de barbantes no papel ainda
em branco, criando formas geométricas, como retângulos, quadrados, triângulos
(as formas que aparecem na obra escolhida).
Terceiro
momento:
No dia
seguinte, quando a colagem dos barbantes já estiver seca, as crianças pintarão
a tela usando as cores desejadas, como também poderão acrescentar novas formas.
O espaço dentro e fora dos limites do barbante servirá como delimitadores das
formas nas quais as crianças podem usar cores diferentes. O resultado dessa
produção será uma bricolagem (atividade na qual se utiliza e sobrepõe várias
técnicas e diferentes materiais para realização do fazer artístico).
Quarto momento:
Depois de
realizada a releitura, crianças e professores deverão voltar à roda para
discutir as formas presentes em suas produções, as cores e as técnicas
utilizadas. Nesse momento, o professor deve combinar com as crianças uma
exposição do material produzido, escolher o nome da exposição e decidir que
turmas poderão convidar para visitar a exposição. No dia combinado para a
exposição, as crianças recebem o grupo de crianças que foi convidado e explica
para ele todo o processo por qual passou a releitura da obra de arte escolhida
pelo grupo.
Avaliação
Com esta aula é possível avaliar o fazer artístico
das crianças, bem como sua capacidade de realizar releituras de obra de arte,
atentando para as formas utilizadas pelo artista da obra original.
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com
esta aula
Objetivos:
• Brincar com os blocos lógicos;
• vivenciar noções básicas de conceitos matemáticos;
• resolver situações problemas com a mediação da professora.
• Brincar com os blocos lógicos;
• vivenciar noções básicas de conceitos matemáticos;
• resolver situações problemas com a mediação da professora.
Duração das atividades
Três momentos com duração de aproximadamente
20 minutos
Conhecimentos prévios trabalhados
pelo professor com o aluno
Conhecimentos prévios: Para realização desta aula é
necessário que a professora tenha claro se as crianças compreendem as noções de
peso e quantidade para que possam emitir opiniões a respeito dos objetos
apresentados em relação a seus atributos: pesado, leve; muito, pouco; grande,
pequeno; dentro, fora.
Estratégias e recursos da aula
1º Momento:
Levar para a roda uma caixa com blocos lógicos e
iniciar uma conversa com perguntas como: alguém conhece esse objeto? Qual o
nome dele? Qual é a forma da caixa? A caixa está CHEIA ou VAZIA? O que tem
DENTRO da caixa?
Disponível em: http://www.cort9.com/page5/files/category-poemas.php
2º Momento:
Após ouvir as respostas das crianças, oportunizar
situações que propiciem a construção de noções de peso, em que a professora vai
passando a caixa de mão em mão e perguntando: A caixa está PESADA ou LEVE?
Ouvir as crianças e pedir que expliquem porque ela é pesada ou leve.
Apresentar uma caixa menor e colocá-la ao lado da anterior, perguntando: as caixas são IGUAIS ou DIFERENTES? Qual é a caixa GRANDE e a PEQUENA? Em seguida, esvaziar a caixa, colocando o conteúdo em uma caixa menor e ir questionando onde tem MAIS e onde tem MENOS blocos. Embora a criança observe a professora colocando todo o conteúdo da caixa maior para a menor, a tendência desta será responder que na caixa menor há menos objetos, porque as crianças nessa faixa etária associam o peso ao tamanho dos objetos e ainda não têm construído as noções de reversibilidade.
Apresentar uma caixa menor e colocá-la ao lado da anterior, perguntando: as caixas são IGUAIS ou DIFERENTES? Qual é a caixa GRANDE e a PEQUENA? Em seguida, esvaziar a caixa, colocando o conteúdo em uma caixa menor e ir questionando onde tem MAIS e onde tem MENOS blocos. Embora a criança observe a professora colocando todo o conteúdo da caixa maior para a menor, a tendência desta será responder que na caixa menor há menos objetos, porque as crianças nessa faixa etária associam o peso ao tamanho dos objetos e ainda não têm construído as noções de reversibilidade.
3º Momento
Em seguida a professora coloca de volta os objetos
na caixa maior e pergunta às crianças onde há mais. Ouvir as crianças e fazer
anotações quanto a suas maneiras de pensar sobre estes conceitos matemáticos,
nesse momento.
Para concluir esta aula, a professora deve disponibilizar o conteúdo das caixas, os blocos lógicos, para que as crianças possam manipular e explorar à vontade, de forma livre.
Para concluir esta aula, a professora deve disponibilizar o conteúdo das caixas, os blocos lógicos, para que as crianças possam manipular e explorar à vontade, de forma livre.
Avaliação
Com esta atividade é possível avaliar que noções as
crianças já têm construídas em relação a peso, quantidade, tamanhas e
reversibilidade dos objetos, a forma como exploram os blocos lógicos em
atividades livres e a capacidade de resolver situações problemas com a mediação
da professora.
Aulas idealizadas por: Josélia
Soares Nunes dos Santos
REPRESENTANDO O CORPO COM AS FORMAS GEOMÉTRICAS
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com
esta aula
Através do tema sobre o corpo, associado as
questões geométricas, as crianças poderão:
- Vivenciar
situações de contagem;
- Familiarizar-se
com as formas geométricas planas (retângulo círculo);
- Familiarizar-se
com as cores primárias;
- Familiarizar-se
com os tamanhos (grande/pequeno)
Conhecimentos prévios trabalhados
pelo professor com o aluno
Para se trabalhar a representação do corpo com
as formas geométricas, o professor já deverá ter introduzido a temática
sobre o corpo, conforme as aulas anteriores. Nesse sentido as crianças já
deverão ter noção de quais as partes externas que constituem o seu corpo
(cabeça, tronco e membros).
Estratégias e recursos da aula
Já tendo trabalhado noções
iniciais sobre a imagem corporal das crianças (as partes externas que constituem
o seu corpo e o corpo do outro) o professor traz para a sala de aula, as
seguintes figuras geométricas cortadas em papel grande (tipo cartolina) e em
cores diferentes:
- 1
círculo vermelho(para representar a cabeça)
- 1
retângulo azul maior (para representar o tronco)
- 4
retângulos amarelos menores (para representar os membros)
Com esse material em mão o
professor estabelece o confronto entre as mesmas através de questionamentos,
como:
- Vocês
conhecem essas formas?
- Quem
saberia dizer o nome delas?
- Elas
são iguais?
- Qual
a cor delas? E a forma?
- Qual
é o retângulo maior?
- Qual
o retângulo menor?
Depois
desse questionamento o professor sugere a representação de um corpo com as
formas apresentadas, em um painel fixado na parede:
- Com o círculo o que podemos
representar?
- Com o retângulo maior o que
podemos representar?
- E com os menores?
Após o
corpo ser montado, o professor poderá questionar o grupo se está faltando mais
alguma parte do corpo. Podendo também sugerir que as crianças desenhem as
partes verbalizadas como: boca, nariz, olhos entre outras.
Depois
dessa atividade o professor poderá entregar para cada aluno uma folha de papel
em branco e as formas previamente cortadas, em tamanho menor, com as
mesmas cores que foram trabalhadas no quadro, para que cada criança monte o seu
próprio boneco.
Avaliação
O
professor deverá observar, ao final desta aula, se o seu aluno:
- Nomeou as partes do seu
corpo;
- Conseguiu quantificar as
partes do corpo;
- Reconheceu as formas
geométricas (círculo e retângulo);
- Distingue os tamanhos
(grande e pequeno) e algumas cores;
- Montou o seu boneco através
de colagem com as formas geométricas
Aula idealizada por:
DESCREVER
OS ATRIBUTOS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS: uma linguagem infantil
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com
esta aula
Identificar e nomear figuras geométricas; e
identificar linhas.
Duração das atividades
2 aulas
com diferentes momentos de 35 minutos cada.
Conhecimentos prévios trabalhados
pelo professor com o aluno
Cor,
tamanho e formas.
Estratégias e recursos da aula
Atividade 1 – Destacar os atributos
necessários das figuras geométricas estudadas.
1º Momento - O professor mostra as figuras e solicita às crianças que descrevam as peças, apontando as características: cor, forma, tamanha e espessura (de círculos, triângulos, retângulos, quadrados). Ele deverá orientar a atividade de descrever, formulando as perguntas necessárias para ajudar as crianças a fazer a análise da figura evidenciada, como exemplo:
- Quais
são as formas geométricas que vocês estão vendo?
- Quais
são as cores?
- Quais
são os tamanhos?
- Os
blocos têm espessura? O que é espessura?
A partir dessas perguntas, o
professor ajuda às crianças a descrever e trabalhar com as
características de cada forma geométrica.
Figura 1- Blocos lógicos. Fonte: https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhs6ff3R3o4NcIxrIqrT31lWrvSGLCvGYPJJIAFuZX0bYvx5p6-ksCIup6WPznYK1-HRHdIal58AP0bE049hLfvrRf51qSOuI_MIjZj6ipU9QAGiFM7vxXvxlFZE5r8ourTgYtAvb-uc81o/s320/AT16164.jpg
2º Momento - O professor orientará as
crianças para escolher duas peças dos blocos lógicos para analisar, medir e
descrever como são os lados das figuras geométricas escolhidas.
Figura 2 - foto de crianças da turma 4 - na faixa
etária de 5 anos.
3º momento - O professor ajuda às crianças
a analisar a forma de representar as figuras geométricas com as linhas e
introduz novos conceitos: linha reta, verticais,
horizontais; linhas curvas: fechadas e abertas; abertas para a
direita, para a esquerda, para cima e para baixo. Nesse momento faz uso
dos seguintes recursos: traçados de linhas diversificadas; cordões
e palitos. A partir do estudo das linhas ajudará as crianças a
procurá-las em diversas imagens.
- Exemplo:
procure e aponte as linhas retas e as linhas curvas encontradas na imagem abaixo:
Figura 3 - Imagem como recurso didático.
Avaliação
Avaliar os novos conhecimentos e novas habilidades
das crianças. Elas conseguem: identificar triângulos (três lados e três
cantos), quadrados (quatro lados iguais e quatro cantos abertos) círculos
(rolam e não tem lados) e identificar as linhas pelos atributos de retas e
curvas.
Aula idealizada
por: Luciana Lacerda de Castro.
Postada
por Jeane Ribeiro.
Nenhum comentário:
Postar um comentário